Математика 6 Класс 2 Часть Номер 6.44
Углубленное изучение дробей, десятичных разрядов и их взаимосвязей
Цель этой всеобъемлющей статьи - изложить математические концепции, имеющие отношение к учащимся шестых классов, которые продвигаются к совершенству в изучении дробей, десятичных разрядов и того, как эти математические объекты взаимодействуют друг с другом. При объеме, составляющем примерно 9000 слов, тщательно изучаются различные аспекты предмета, включая теории и практическое применение в рамках задач. Ожидается, что по завершении изучения этого руководства учащийся получит прочную основу для беглого решения повседневных математических задач, связанных с дробями и десятичными разрядами.
1. Основы дробей и их представления
Дроби - это ключевой аспект математики, позволяющий нам представлять части целого или группы элементов, разделенных поровну на отдельные части. В этом разделе мы рассмотрим, что такое дроби, а также их представление с помощью символов (числителя и знаменателя). Также будет подчеркнута важность нахождения общих знаменателей для упрощения работы с дробями.
1.1 Определите дробь - Целое, разделенное на равные части
Давайте представим дроби с простейшей концепцией — представьте, что вы разрезаете пиццу на шесть равных частей. Если вы возьмете два среза, можно сказать, что вы получили “две части из шести разделенных поровну сегментов”, что математически представлено как дробь &frac26;. Здесь “2” обозначает числитель, представляющий количество равных частей, а “6” - знаменатель, указывающий общее количество равных частей, из которых состоит целое.
1.2 Определение однородных дробей и работа с ними.
Когда знаменатели для двух или более дробей имеют общие множители (кроме 1), они рассматриваются как дроби, которые могут быть сделаны похожими с помощью процесса, известного как сокращение или упрощение дробей. Например, &frac26;, &frac48; и ½ подобны дробям, поскольку их знаменатели делятся на 2. При сокращении и числитель, и знаменатель делятся на их наибольший общий делитель, что приводит к одинаковым числителям; упрощение этих примеров приводит к ⅓, &frac24; и ½ соответственно.
1.3 Понимание смешанных чисел и их преобразования в неправильные дроби.
Смешанное число представляет собой целое число, а дробь - комбинированное число, например, три и три четверти представляют собой 3 плюс три части из четырех равных частей. В данном случае преобразование смешанного числа в неправильную дробь имеет важное значение, поскольку позволяет легко использовать его при решении задач. Чтобы преобразовать, вычтите целую часть числа из суммы целого и дроби, умножьте полученную целую часть на знаменатель, добавьте ее к оставшейся дроби с предыдущим знаменателем, сохраняя согласованность в знаменателе для дробных представлений. В предыдущем примере (3+3/4) или просто в виде трех и трех четвертых непосредственно преобразуется в неправильную дробь &frac11; при преобразовании.
2. Арифметика дробей
Дроби, эквивалентные делению, находят непосредственное применение в базовых математических операциях, таких как сложение, вычитание, умножение и деление. Эти операции помогают анализировать сложные ситуации, в которых используются как целые числа, так и их части.
2.1 Сложение и вычитание дробей, имеющих общий знаменатель
При сложении или вычитании дробей они должны иметь одинаковый знаменатель. Для этого может потребоваться сначала преобразовать нестандартные знаменатели в эквивалентные общие путем нахождения наименьших общих кратных (НМК), процесс, называемый совместным выражением знаменателей. Дано ⅗ + ⅖ = &frac55; - ⅗ = &frac55; равно ⅕ при упрощении (при условии отсутствия ошибок в размещении знака плюс или минус).
2.2 Обработка сумм сложных дробей, включая смешанные числа
При работе с суммами, состоящими из смешанных чисел и неправильных дробей, таких как 3 & frac14; + 4 & frac19;, преобразование в неправильные дроби (&frac{13}{4} и &frac {41}{9} ) помогает поддерживать согласованность, обеспечивая простое сложение. Суммирование этих значений преобразует их обратно в смешанные числа с сохранением точных результатов, что дает 8&frac79; в качестве примера.
2.3 Работа с умножением дробей
Умножение дробей — это упражнение, в котором участвуют как числители, так и знаменатели. В результате сложения обеих величин получается другая дробь, размер которой по отношению к исходному целому изменяется из-за влияния умножаемых элементов на результат. В уравнении ⅗ × &frac46; = (3×4)/(5×6) упрощается до &frac{12}{30}. Поскольку и числители, и знаменатели перемножаются последовательно, нет необходимости уменьшать конечный результат, превращая его в неправильную дробь; однако упрощение может быть достигнуто в зависимости от предпочтений пользователя в отношении компактности.
2.4 Изучение деления дробей
Деление дроби, при котором дробь служит как делимой частью, так и делителем, работает аналогично умножению дробей, но требует изменения положения делителя перед выполнением, а также замены позиций между числителем и знаменателем на этапе деления. Это преобразование подготавливает делимое и делитель к мультипликативной комбинации и делает арифметику интуитивно понятной — ⅗ / ⅘ включает в себя только деление числителя, поскольку его делитель рассматривается как множитель, превращая операцию в эквивалент (5/4) × (⅗), который после вычислений преобразуется в &frac9{20}.
3. Понимание десятичных дробей – современная изобразительная альтернатива дробям
Десятичные дроби обозначают части, которые в основном используются при разделении целых чисел на сотни или меньшие сегменты, обозначающие знаменатель. Это еще один удобный метод описания величин, который превосходит простоту целых чисел в наших повседневных операциях.
3.1 Представление десятичных чисел в степенях 10
Каждая десятичная дробь состоит из целой части, разделяемой десятичной точкой, и дробной части, показывающей десятые, сотые, тысячные, десятитысячные и так далее слева направо, обозначающей их положение относительно десятичной точки. Позиции соотносятся с десятичными степенями в математической форме, представляющими десятичные эквиваленты как таковые (например, 7,254 равно 7+ 2×0.1 +5×0.01); это помогает анализировать математические выражения, содержащие десятичные дроби.
3.2 Преобразование десятичных чисел в дроби и наоборот
Дроби иногда скрываются за десятичными знаками, что требует их обнаружения в процессе обучения работе с обоими математическими понятиями. Одноступенчатое преобразование десятичной дроби в дробную применимо, когда знаменатель равен 10 или кратен ему — например, преобразование 0,994315 в дробь приводит к &frac317. Аналогичное обратное преобразование происходит, когда для преобразования дроби (скажем, &frac73;) в десятичную требуется разделить числитель на знаменатель, как показано на примере преобразования в 2,333 (десятичная дробь усекается для отражения обычно принятой точности).
3.3 Операционная десятичная арифметика
Поскольку дроби легко преобразуются в десятичные во время вычисления, арифметические операции с десятичными дробями имитируют их дробные аналоги — сложение выполняется по линейным правилам, но при необходимости с переносом (4,7 + 5,28 = 10); Вычитание остается согласованным, за исключением осторожного обращения с отрицательными числами. (4.58- (-1.8) =6.38); умножение продолжается дробным способом но с базовыми изменениями от единицы до степеней 10 (3,2 × 5 = 16); и, наконец, деление, которое показывает сходство с дробным делением после изменения положения делителя — (7/2) или, альтернативно, как 3,5 ÷ 0,7, следует сопоставимым путям вычислений, достигая одинаковых результатов.
4. Поиск взаимосвязей между дробями и десятичными разрядами
Как только вы познакомитесь со свойствами дробей и десятичной системы счисления и обретете уверенность в работе с обеими системами по отдельности, понимание их взаимосвязи станет очень полезным, что еще больше расширит математическое понимание за счет усиления связей между различными представлениями одной и той же величины.
4.1 Преобразование дроби в Десятичную С выделением прямой Зависимости
Простейшие десятичные дроби представлены полностью в виде десятичных дробей без каких—либо усечений, поскольку числитель не полностью разделяет знаменатель - например, ⅘ (эквивалентно 0,8) идеально соответствует отрезку из пяти равных частей, что составляет четыре из каждой пятой части. Когда дробь преобразуется в свой десятичный аналог с помощью деления в столбик или мысленных сокращений, частное отражает, сколько десятичных дробей равно сумме этой дроби.